Définition

Une fonction (ou application) de \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{R}\) est une "boite" qui a chaque réel associe un autre réel.

Soit une fonction \(f\),

• \(f\) est injective si toute image admet au plus un antécédent

\[ \forall (x_1, x_2) \in A^2, f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \]

• \(f\) est surjective si toute image admet un antécédent.

\[ \forall y, \exists x, f(x)= y \]

• \(f\) est bijective si elle est injective et surjective. Il existe alors \(f^{-1}\) la réciproque.
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Majoration

On dit que \(f\) est majorée sur \(A\) si
\[ \exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in A, f(x) \le M \]
de meme pour minorée.
\(f\) est bornée si \(A\) est majorée et minorée. On peut aussi borner une fonction par la valeur absolue, ainsi :
\[ \exists M \in \mathbb{R}^+, \forall x \in A, |f(x)| \le M \]
Une fonction bornée n'admet pas forcements d'extremums, mais si elle en admet, alors :
\[ \exists \alpha, \forall x \in A, f(x) \le f(\alpha) \]

Operations usuelles

\[ (f+g)(x) = f(x)+g(x) \]
\[ (f \cdot g) = f(x) \cdot g(x) \]
\[ k\in \mathbb{R}, \quad (kf)(x) = k \cdot f(x) \]
\[ (f \circ g) = f(g(x)) \]

Parité et périodicité

• une fonction est dite paire si \(f(x) = f(-x)\)
• une fonction est impaire si \(f(x) = -f(-x)\)
• une fonction est périodique si \[\exists T \in \mathbb{R}_+^*, \quad \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x+T) = f(x) \]

Monotonie

1. croissant : \(\forall (a,b) \in A^2, a \le b \Rightarrow f(a) \le f(b)\) (resp. strictement)
2. décroissante : \(\forall (a,b) \in A^2, a \le b \Rightarrow f(a) \ge f(b)\) (resp. strictement)

Soient \(f\) et \(g\) monotones, \(f \circ g\) est monotone.
Si \(f\) est strictement monotone, alors \(f\) est bijective et \(f^{-1}\) a le meme sens de monotonie que \(f\).

Continuité

Une fonction est dite continue si, pour tout \(x_0\), \(\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)\)
La continuité est conservé par les operations usuelles.

Dérivée et intégrale

Par souci de clarté, les articles sur les dérivées et intégrales sont dans des pages séparées.

Quelques fonctions utiles

• Fonctions trigonométriques
• logarithme népérien : \(ln(x)\)
• logarithme : \(ln_a(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)}\)
• Fonctions hyperboliques